28.5 La 1D-DWT (cálculo basado en Lifting [20])

With lifting, the forward 1-level dyadic DWT of S, (S) = {L,H}, is calculated in following three stages:

1. Split (): Decomposes the input sequence S into two sequences e(S) = {S_2i} (the even samples of S) and o(S) = {S_2i+1} (the odd samples of S).
2. Predict (): Using one of these sequences (tipically e(S)), this stage generates a prediction for the other (o(S)). Lets (e(S)) the prediction sequence of samples. After that, the high-frequency subband H is calculated substracting both sequences:

   (28.1)

   Como consecuencia de que S generalmente es el resultado de muestrear una función suave y contínua, es fácil encontrar una predicción precisa (accurate prediction) para las muestras impares a partir de las pares usando un filtro de interpolación. Si la predicción es adecuada, esta operación reduce la entropía de la señal, es decir, necesitaremos menos bits de información para representar H que para representar o(S). Como ambas señales tienen la misma longitud, esto permite realizar una compresión lossless de la señal más eficiente. Además, la energía de H tiende a ser menor que la energía de o(S). Por tanto, para encontrar una representación aproximada de la señal S, es más eficiente utilizar {e(S),()} que {e(S),_N(o(S))}, donde (⋅) es el scalar quantization operator.^‡

3. Update (): Finalmente, una combinación lineal de los errores de predicción alrrededor en la muestra i, (H)_i, es sumada a cada S_2i para reducir el aliasing provocado en la primera etapa ():

   (28.2)

   De esta manera, si la cuantificación aplicada a la banda H es tan severa que no se utiliza ninguna cantidad de información de la misma en una reconstrucción parcial, dicha reconstrucción al menos no poserá los efectos provocados por el aliasing (generalmente desagradables a la vista y al oído) que ocurren cuando usamos una downsampled signal que no ha sido convenientemente filtrada.

The inverse transform, ({L,H}) = S, is also computed in three stages. Basically, these steps undo the operations that have been performed at the analisys stage:

1. Undo Update: Given L and H we can recover the even samples by substracting the update information:

   (28.3)

2. Undo Predict: We can reconstruct the odd samples by adding the errors and the prediction information:

   (28.4)

3. Merge (): Now that we have the even and odd samples we simply have to zipper them together to recover the original signal.